00000071.htm

3₀ OEUVRES BE CHARLES HERMITE.

Pexpression connue de cette derniere fonction, par une fonction
rationnelle de Tune quelconque des quantites precedentes, etc.

Toutescesproprietes, speciales a la fonction a double periode - .^,

decoulent immediatement, comme on le voit, de 1'equation de de-
finition des fonctions H et ® simplement periodiques; on peut
m£me reinarquer la grande extension que regoit le d^veloppement
en produit infini de sin am (a;), qni a et^ obtenu la premiere fois
comme consequence des formtiles de transformation, au moyen de
Tegalite obtenue plus haul, savoir :

_N1 d sin am (a]

- /[sin³ am (a?)]

= const.

1 (yj)

Jusqu'a present, je n'osepoint encore esperer, Monsieur, d'appli-
quer avec succes la m^thode pr^c^denLe a 1'analyse des fonctions
de deux variables a quatre p^riodes simultane*es; ce sera done sons
un autre point de vue que je vais essayer de Her en quelques
points, par des r&ultats analogues, la th6orie des fonctions abe*-
liennes et des fonctions elliptiques. Ainsi je prendrai les fonctions
de troisierne espece, et sous la forme suivante :

rr/

J \\

. ^

' —« y — <

Pint^grale etant assujettie a sMvanonir, lorsque 1'on fait a la fois
^?z=o, y = o, Aj? representant la racine carr^e du polynome
/?<#* +/7₂ar² + /?₈a?⁸ -4-^4^*+ 7?s^⁵- Je la d^signerai par
B[( w, (.', a, (3), lorsqu'on y aura fait les substitutions x = X₀(«, p),
y=i\_{(u, v), les nouvelles variables u et v ^tant comme a 1'ordi-
naire

et de meme a = X₀(a, P), b = \_{ (a, (3). On aura alors les expres-
sions suivantes des coefficients diiBT^rentiels

<3?n . sc -H r — a

-Lb-

—

du
dU

• = A _ —

(a— a?) (a — y)

(b —



3₀ OEUVRES BE CHARLES HERMITE. Pexpression connue de cette derniere fonction, par une fonction rationnelle de Tune quelconque des quantites precedentes, etc. Toutescesproprietes, speciales a la fonction a double periode - .^, decoulent immediatement, comme on le voit, de 1'equation de de- finition des fonctions H et ® simplement periodiques; on peut m£me reinarquer la grande extension que regoit le d^veloppement en produit infini de sin am (a;), qni a et^ obtenu la premiere fois comme consequence des formtiles de transformation, au moyen de Tegalite obtenue plus haul, savoir :

_N1 d sin am (a]					- /[sin³ am (a?)]
dx

= const.				1 (yj)

Jusqu'a present, je n'osepoint encore esperer, Monsieur, d'appli- quer avec succes la m^thode pr^c^denLe a 1'analyse des fonctions de deux variables a quatre p^riodes simultanees; ce sera done sons un autre point de vue que je vais essayer de Her en quelques points, par des r&ultats analogues, la th6orie des fonctions abe- liennes et des fonctions elliptiques. Ainsi je prendrai les fonctions de troisierne espece, et sous la forme suivante :

rr/ J \\				. ^
				' —« y — <

Pint^grale etant assujettie a sMvanonir, lorsque 1'on fait a la fois ^?z=o, y = o, Aj? representant la racine carr^e du polynome /?<#* +/7₂ar² + /?₈a?⁸ -4-^4^+ 7?s^⁵- Je la d^signerai par B[( w, (.', a, (3), lorsqu'on y aura fait les substitutions x =* X₀(«, p), y=i\_{(u, v), les nouvelles variables u et v ^tant comme a 1'ordi- naire

_ Ar

et de meme a = X₀(a, P), b = \_{ (a, (3). On aura alors les expres- sions suivantes des coefficients diiBT^rentiels

<3?n . sc -H r — a				-Lb-
—	du dU
		• = A _ —	_
		(a— a?) (a — y)

(b —