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XXV III IMIKFACE.

degre, Hermite exposa ensuite ses travaux, ainsi que ceuxde
Kronecker et de Brioschi, en utilisant ses anciennes ro
cherches sur les formes du cinquieme degre. On trouve, de
plus, dans ce Memoire, quelques resultats generaux concer-
nant les equations de degre quelconque. II y est montre quo,
pour une equation de degre quelconque, on peut former un
certain nombre d'invariants clont les signes donnent le
nornbre des racines reelles et imaginaires de Pequation; pa-
reillernent on peut former un systemede covariants doubles,
c'est-a-dire a deux series de variables, servant, comme les
fonctions de Sturm, a determiner le nombre des racines reelles
comprises entre deux nombres. Hermite completait ainsi
d'une maniere rernarquable ses premieres etudes sur des
suites analogues a celles de Sturm.

Nous rencontrons bientot apres un long Memoire sur la
theorie des equations modulaires. Pourrealiser effeclivement
Fabaissement de 1'equation modulaire dans les trois cas prevus
par Galois, il fallait calculer le discriminant de cette equa-
tion. Hermite entreprend alors d'une maniere generale une
etude du discriminant des equations modulaires et sa decom-
position en facteurs, et est ainsi conduit a d'importantes no-
tions arithmetiques sur le nombre des classes de formes qua-
dratiques. La theorie des equations modulaires n'est d'ail-
leurs. pas le seul lien ou la tbeorie des fonctions elliptiques
vient se Her a la theorie des formes quadratiques binaires de
determinant negatif. Un autre plus elernentaire s'offre lors-
qu'on developpe en series trigonometriques certains quotients
de fonctions ®; on obdent ainsi des identit^s, d'ou decoulent
des propositions tres cachees d'Arithmetique, et c'est ainsi,
entre autres resultats, .qu'Hermite retrouve les propositions
de Leerendre et de Gauss sur la decomposition des nombres



	XXV III IMIKFACE. degre, Hermite exposa ensuite ses travaux, ainsi que ceuxde Kronecker et de Brioschi, en utilisant ses anciennes ro cherches sur les formes du cinquieme degre. On trouve, de plus, dans ce Memoire, quelques resultats generaux concer- nant les equations de degre quelconque. II y est montre quo, pour une equation de degre quelconque, on peut former un certain nombre d'invariants clont les signes donnent le nornbre des racines reelles et imaginaires de Pequation; pa- reillernent on peut former un systemede covariants doubles, c'est-a-dire a deux series de variables, servant, comme les fonctions de Sturm, a determiner le nombre des racines reelles comprises entre deux nombres. Hermite completait ainsi d'une maniere rernarquable ses premieres etudes sur des suites analogues a celles de Sturm. Nous rencontrons bientot apres un long Memoire sur la theorie des equations modulaires. Pourrealiser effeclivement Fabaissement de 1'equation modulaire dans les trois cas prevus par Galois, il fallait calculer le discriminant de cette equa- tion. Hermite entreprend alors d'une maniere generale une etude du discriminant des equations modulaires et sa decom- position en facteurs, et est ainsi conduit a d'importantes no- tions arithmetiques sur le nombre des classes de formes qua- dratiques. La theorie des equations modulaires n'est d'ail- leurs. pas le seul lien ou la tbeorie des fonctions elliptiques vient se Her a la theorie des formes quadratiques binaires de determinant negatif. Un autre plus elernentaire s'offre lors- qu'on developpe en series trigonometriques certains quotients de fonctions ®; on obdent ainsi des identit^s, d'ou decoulent des propositions tres cachees d'Arithmetique, et c'est ainsi, entre autres resultats, .qu'Hermite retrouve les propositions de Leerendre et de Gauss sur la decomposition des nombres