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PREFACE.
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XXI
formes de degre pair ont un invariant du second degre. La
loi est surtout interessante pour les covariants. Hermite de- montre que toutes les formes binaires, sauf les formes biqua- dratiques, ont un covariant quadra tique. L'importance de ces covariants quadratiques est capitale; on en deduit la no- tion de substitution canonique, celle-ci etant une substitution ramenant le covariant quadratique a la forme xy. An moyen de cette substitution, des invariants et des covariants d'une forme, qu'il eut ete presque impossible d'obtenir jamais en fonction explicite des coefficients de cette forme, prennent une forme simple. Grace a cette theorie, Hermite decouvre 1'invariant du dix-huitieme degre des formes du cinquieme- degre; c'etait le premier exemple d'un invariant gauche, c'est-a-dire se reproduisant multiplie par une puissance im~ paire du determinant de la substitution. Nous devons noter particulierement la decouverte des covariants lineaires pour les formes de degre impair a partir du cinquieme degre; elle a conduit Hermite, an moyen d'un changement de variables eilectue a 1'aide de deux covariants lineaires, aux formes- types dont les coefficients sont tons des invariants de la forme initiale. Une application extrernement interessante de ces tlieoremes generaux concexnie les formes du cinquieme degre. Ces formes possedent quatre invariants fondamentaux, en fonctions entieres desquels s^exprirnent tons les autres inva- riants; les trois premiers avaient ete decouverts par Sylvester, et le quatrieme est i'invariant gauche dont j'ai parle plus haut. Les coefficients de.la.forrne-type du cinquieme degre s'expriment rationnellement 4 Taide de ces invariants; Her- mite en cleduit qu'on pe.ut amener toute equation du cin- quieme degre &. ne d^pendreque de deux parametres qui sont des invariants absolus, et la discussion complete de la nature, |
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