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XIV
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^raiment geniale, a- la consideration dune forme definie
assoclee dependant d'un certain nombre de parametres arbi- traires, et lei BOUS voyons apparaitre les variables continues dans un probleme arithmetique extremement difficile. Les substitutions a coefficients en tiers, permettant de Hduire, successivementttlte forme definie, quand, par une variation continue des parametres, elle cesse d'etre reduite, conduisent aux substitutions semblables, et Ton pent demontrer qu'il existe un nombre fini de substitutions a Taide desquelles on obtient toutes les substitutions transform ant la forme en elle- meme. II resulte aussi de cette admirable analyse que, pour les formes indefinies a coefficients entiers comme pour les formes definies, il n'y a qu'un nombre limite de classes pour un determinant donne; on en deduit la solution du probleme de 1'equivalence de deux formes.
Les principes precedents s'appliquent aussi aux formes a
coefficients entiers de degre quelconque decomposables en facteurs lineaires; leur theorie est merne a bien des egards beaucoup plus simple que celle des formes quadra tiques. Les substitutions semblables sont ici deux a deux permutables, et elles peuvent toutes s'exprimer par un produit de puissances de certaines substitutions, dont le nombre ' s'obtient d'une mamere tres remarquable : Si a designe le nombre des fac- teurs reels dans la forme, et b le nombre des couples de fac- teurs imaginaires conjugues, il y a a 4- b substitutions sem- blables fondamentales. La demonstration de ce beau theoreme, enonce seulement par Hermite au commencement d'un de ses Memoires, n'a jamais, je crois, ete developpee. A 1'egarddes formes quadratiques indefinies, on ne connait aujourd'hui encore aucune proposition analogue relative au nombre des substitutions fondamentaJes, qui ne sont pas, en general, per |
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